Trong một bể xử lí nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm t được kí hiệu bằng N(t) (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc

16/22

Trong một bể xử lí nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm t được kí hiệu bằng \(N(t)\)(đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số \(N'(t) = A.{e^{kt}},\) trong đó: A, k là các hằng số dương, t là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được \(A = 1000\ln 2\) và tại thời điểm \(t = 1\) giờ có 3000 vi khuẩn; \(N'(1) = 2000.\ln 2.\) Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá 129 000 con.

\(k = \ln 2.\)

ĐúngSai

Số vi khuẩn tại thời điểm \(t = 6\) giờ là 63 000 con.c) Số lượng vi khuẩn bắt đầu vượt ngưỡng an toàn từ sau thời điểm \(t = 7\) giờ.

ĐúngSai

Số lượng vi khuẩn bắt đầu vượt ngưỡng an toàn từ sau thời điểm \(t = 7\) giờ.

ĐúngSai

Tại thời điểm \(t = 7\) giờ người ta tiến hành xử lý để giảm số lượng vi khuẩn theo quy luật: \(M(t) = 129000.{e^{ - 0,5(t - 7)}}\) với \(M(t)\) là số con vi khuẩn ở thời điểm t giờ \((t \ge 7)\). Khi đó, sau \(3\ln 2\) giờ kể từ khi bắt đầu xử lý, số vi khuẩn còn lại 64 500 con.

ĐúngSai

Giải thích

Trả lời: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai

a) Ta có: \(N'(1) = A.{e^k} = 1000\ln 2.{e^k} = 2000\ln 2\)

\( \Rightarrow \,{e^k} = 2 \Rightarrow k = \ln 2.\)

b) Từ câu a) ta có \(k = \ln 2\)\( \Rightarrow N'(t) = 1000\ln {2.2^t}\)

Nguyên hàm: \(N(t) = \int {1000\ln {{2.2}^t}dt = {{1000.2}^t} + C} .\)

Thay \(N(1) = 3000 \Rightarrow 1000.2 + C = 3000\) hay \(C = 1000.\)

Vậy ta được \(N(t) = {1000.2^t} + 1000.\)

Tại \(t = 6\) giờ, ta có \(N(6) = {1000.2^6} + 1000 = 65000\)

c) Ta có \(N(t) > 129000 \Leftrightarrow {1000.2^t} + 1000 > 129000\)

hay \({2^t} > 128 = {2^7} \Leftrightarrow t > 7\)

\( \Rightarrow \) số vi khuẩn bắt đầu vượt ngưỡng an toàn từ sau \(t = 7\)giờ.

d) Từ \(t = 7\), số vi khuẩn được tính theo hàm số sau:

\(M(t) = 129000.{e^{ - 0,5(t - 7)}}.\)

Sau \(3\ln 2\)giờ kể từ khi bắt đầu xử lý \((t = 7 + 3\ln 2)\):

\(M(7 + 3\ln 2) = 129000.{e^{ - 0,5.3\ln 2}} = 129000.{e^{ - 1,5\ln 2}}\)

\( = 129000.{({e^{\ln 2}})^{ - 1,5}} = {129000.2^{ - 1,5}}\)

\( = \frac{{129000}}{{2\sqrt 2 }} \approx 45608\).