Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng

Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng

với các trục tọa độ như hình trên.

Do hình hình hộp có kích thước đáy là \(1\,{\rm{m}} \times 1\,{\rm{m}}\) nên \(A\left( {100;0;25} \right)\), \(B\left( {0;0;b} \right)\), \[C\left( {0;100;75} \right)\].

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 100;0;b - 25} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 100;100;50} \right)\).

Nên \[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2500 - 100b;7500 - 100b; - 10000} \right) = 100\left( {25 - b;75 - b; - 100} \right)\].

Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}.\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}}\).

\( = \frac{{100}}{{\sqrt {{{\left( {25 - b} \right)}^2} + {{\left( {75 - b} \right)}^2} + {{\left( { - 100} \right)}^2}} }} = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}\).

Để \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}\) đạt giá trị lớn nhất

thì biểu thức \[P = 2{b^2} - 200b + 16250\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Dễ thấy biểu thức \[P = 2{b^2} - 200b + 16250\] là một hàm số bậc hai nên đạt giá trị nhỏ nhất là \(P = 11250\)

tại \(b = 50\) hay giá trị \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) khi \(b = 50\).