Trong môi trường nuôi cấy ổn định, người ta nhận thấy rằng: Sau 5 ngày, số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi.

 Phương pháp giải

Sử dụng mô hình hàm số mũ biểu diễn sự tăng trưởng của vi khuẩn theo thời gian.

Giải chi tiết:

Giả sử sau x ngày nuôi cấy thì tổng số vi khuẩn của hai loài là 20900 con, với (x > 0).

Loài vi khuẩn A: 

    Sau 5 ngày tăng gấp đôi nên sau x ngày có: \[50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}}{\rm{ (con)}}.\]

Loài vi khuẩn B: 

    Sau 10 ngày tăng gấp ba nên sau x ngày có:               \[100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}{\rm{ (con)}}.\]

Theo giả thiết:

  \[50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}} + 100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}} = 20900.{\rm{ }}*\]

Xét hàm số:

  \[f(x) = 50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}} + 100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}.\]

Ta có:

  \[f'(x) = 10 \cdot {2^{\frac{x}{5}}}\ln 2 + 10 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}\ln 3 > 0,\quad \forall x > 0.\]

Suy ra f(x) là hàm đồng biến trên \((0; + \infty ),\)nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = 40:

  \[50 \cdot {2^8} + 100 \cdot {3^4} = 50 \cdot 256 + 100 \cdot 81 = 12800 + 8100 = 20900.\]

Vậy nghiệm duy nhất là:        \[x = 40.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Mô hình tăng trưởng vi khuẩn → hàm số mũ: \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}.\)

·        Dùng dữ kiện “sau 5 ngày gấp đôi, sau 10 ngày gấp ba” để lập phương trình, giải tìm thời gian.