Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức z 1 có điểm biểu diễn M , số phức z 2 có điểm biểu diễn là N thỏa mãn | z 1 | = 1 , | z 2 | = 3 và

63/100

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^o }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Giải thích

$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^^\circ }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________ (ảnh 1)$

Gọi ${M_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $3{z_1}$, suy ra $O{M_1} = 3$.

Gọi ${N_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $2{z_2}$, suy ra $O{N_1} = 6$. Gọi $P$ là điểm sao cho

$\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{N_1}} = \overrightarrow {OP} $. Suy ra tứ giác $O{M_1}P{N_1}$ là hình bình hành.

Do từ giả thiết $\widehat {MON} = {120^o }$, suy ra ${\widehat {{M_1}ON}_1} = {120^o } \Rightarrow \widehat {O{M_1}P} = {60^o }$.

Dùng định lí cosin trong tam giác $O{M_1}{N_1}$ ta tính được ${M_1}{N_1} = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = 3\sqrt 7 $;

và định lí cosin trong tam giác $O{M_1}P$ ta có $OP = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\frac{1}{2}} = 3\sqrt 3 $.

Ta có ${M_1}{N_1} = \left| {3{z_1} - 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 7 ;OP = \left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị lớn nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$.

Đặt $3{z_1} + 2{z_2} = {w_1} \Rightarrow \left| {{w_1}} \right| = 3\sqrt 3 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_1}$ là $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 3 $. Gọi điểm ${Q_1}$ là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right| = A{Q_1}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }}$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$.

Dễ thấy ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }} = O{Q_1} + {R_1} = 3 + 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right| = \left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right|$.

Đặt $3{z_1} - 2{z_2} = {w_2} \Rightarrow \left| {{w_2}} \right| = 3\sqrt 7 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_2}$ là $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 7 $. Gọi điểm ${Q_2}$ là biểu diễn số phức $ - 1 + 2i$.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right| = B{Q_2}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }}$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$.

Dễ thấy điểm ${Q_2}$ nằm trong đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ nên ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }} = {R_2} - O{Q_2} = 3\sqrt 7 - \sqrt 5 $.

Vậy ${M_0} + {m_0} = 3\sqrt 7 + 3\sqrt 3 - \sqrt 5 + 3$.

Suy ra $a + b + c + d = 8$.