Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho Delta ABC với A (2;1); B(4;3) và C (6;7). Xác định bán kính của đường tròn có tâm là trọng tâm G của Delta ABC và tiếp xúc với đường thẳng BC

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,3

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(BC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) là \(2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\).

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 4\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\).

Bán kính của đường tròn cần tìm là \(R = d\left( {G,BC} \right) = \frac{{\left| {2.4 - \frac{{11}}{3} - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}} \approx 0,3\).