Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1;−1), B(3;5), G(3;2). a) Xác định tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Vì \(G\left( {3;2} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), tọa độ của \(G\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).

Thay tọa độ các điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\), \(B\left( {3;5} \right)\), \(G\left( {3;2} \right)\) vào hệ trên, ta suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = 3 \cdot 3 - \left( { - 1} \right) - 3 = 9 + 1 - 3 = 7}\\{{y_C} = 3 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) - 5 = 6 + 1 - 5 = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \(C\left( {7;2} \right)\).

b) Vì \(M \in Ox\) nên tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {x;0} \right)\).

Tính tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \): \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - 1 - x; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {MB}  = \left( {3 - x;5} \right)\).

Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  \bot \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\):

\(\left( { - 1 - x} \right) \cdot \left( {3 - x} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( 5 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\).

Giải phương trình bậc hai trên ta được \(x = 4\) hoặc \(x =  - 2\).

Vậy có 2 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({M_1}\left( {4;0} \right)\) và \({M_2}\left( { - 2;0} \right)\).