Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x; y) biểu diễn nghiệm của bất phương trình 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit dựa vào ứng dụng của hàm số

Lời giải

Điều kiện: \(9x + 18 > 0 \Leftrightarrow x >  - 2\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {9x + 18} \right) + x = y + {3^y} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = y + {3^y}\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 2} \right),t \in \mathbb{R}\). Khi đó ta có: \(t + {3^t} = y + {3^y}\left( {\rm{*}} \right)\)

Ta thấy hàm số \(f\left( x \right) = x + {3^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (do \(f'\left( x \right) = 1 + {3^x}.{\rm{ln}}3 > 0\forall x \in \mathbb{R}\))

Suy ra \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow t = y \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 2} \right) = y \Leftrightarrow x + 2 = {3^y}\)

Do \(M\) có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 7\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} \le 49}\\{x,y \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)

Khi đó \( - 1 \le x \le 7 \Rightarrow 1 \le x + 2 \le 9 \Rightarrow {3^0} \le {3^y} \le {3^2} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2} \right\}\)

Trường hợp 1: \(y = 0 \Rightarrow x =  - 1\) (thỏa mãn)

Trường hợp 2: \(y = 1 \Rightarrow x = 1\) ( thỏa mãn)

Trường hợp 3: \(y = 2 \Rightarrow x = 7\) (loại)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;1} \right)\).