Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4.

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

+) Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp \({\rm{\Omega }} = \{ \left( {x;y} \right)|\left| x \right| \le 4;\left| y \right| \le 4;x;y \in \mathbb{Z}\} \), tìm \(\left| {\rm{\Omega }} \right|\)

+) Gọi A là biến cố: "Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2", biểu diễn \(A\) dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của \(A\).

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| {\rm{\Omega }} \right|}}\)

Lời giải

Không gian mẫu \({\rm{\Omega }} = \{ \left( {x;y} \right)|\left| x \right| \le 4;\left| y \right| \le 4;x;y \in \mathbb{Z}\} \)

Có 9 cách chọn x, 9 cách chọn y, do đó \(\left| {\rm{\Omega }} \right| = 9.9 = 81\)

Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là hình tròn tâm 0 bán kính 2.

Gọi \(A\) là biến cố: "Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2"

\( \Rightarrow A = \left\{ {\left( {x;y} \right) + {x^2} + {y^2} \le 4} \right\} \Rightarrow {x^2} \le 4 \Rightarrow - 2 \le x \le 2\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2} \right\} \Rightarrow \) có 5 điểm

Với \(x = \pm 1 \Rightarrow y \in \left\{ {0; \pm 1} \right\} \Rightarrow \) Có \(2.3 = 6\) điểm

Với \(x = \pm 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow \) Có 2 điểm.

\( \Rightarrow \left| A \right| = 5 + 6 + 2 = 13\). Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| {\rm{\Omega }} \right|}} = \frac{{13}}{{81}}\)