Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy,\] chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số

117/235

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy,\] chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng \(4.\) Nếu các điểm có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng \(2.\) là:

\(\frac{{13}}{{81}}.\)

\(\frac{{15}}{{81}}.\)

\(\frac{{13}}{{32}}.\)

\(\frac{{11}}{{16}}.\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega = \{ (x;y)\mid |x| \le 4;|y| \le 4;x,y \in \mathbb{Z}\} \)

Có \(9\) cách chọn \(x,9\) cách chọn \(y,\) do đó \(|\Omega | = 9 \times 9 = 81\)

Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng \(2\) là hình tròn tâm \(O\) bán kính \(2\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng \(2\)"

\( \Rightarrow A = \{ (x;y)\mid {x^2} + {y^2} \le 4\} \)

Với \(x = 0 \Rightarrow y \in \{ 0; \pm 1; \pm 2\} \Rightarrow \)có 5 điểm.

Với \(x = \pm 1 \Rightarrow y \in \{ 0; \pm 1\} \Rightarrow \)có 2.3 = 6 điểm.

Với \(x = \pm 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow \)có 2 điểm.

\( \Rightarrow |A| = 5 + 6 + 2 = 13.\)Vậy \(P(A) = \frac{{|A|}}{{|\Omega |}} = \frac{{13}}{{81}}.\)

Đáp án cần chọn là: A