Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A (1;1), B(0;2), C t3;1). a) Tìm tọa độ điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Hướng dẫn giải

a) Đặt tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\)

Để \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\) thì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{{1 + x}}{2}\\2 = \frac{{1 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;3} \right)\).

Vậy \(M\left( { - 1;3} \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) cần tìm là: \(\left( \Delta  \right):y = ax + b\) hay \(ax - y + b = 0\).

Ta có:

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \).

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là: \(d\left( {B;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\left| { - 2 + b} \right|}} = 2 \Leftrightarrow \left| {a.1 - 1 + b} \right| = 2\left| { - 2 + b} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a.1 - 1 + b = 2\left( { - 2 + b} \right)\\a.1 - 1 + b =  - 2\left( { - 2 + b} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 + b =  - 4 + 2b\\a - 1 + b = 4 - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b - 3\\a = 3 - 3b\end{array} \right.\)

Với \(a = b - 3\), ta có: \(\frac{{\left| {b - 3 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8  \Leftrightarrow \left| {2b - 4} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 16b + 16 = 8\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2{b^2} - 12b + 20\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow b = 4\)

\( \Rightarrow a = 1\)

Do đó phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x - y + 4 = 0\).

Với \(a = 3 - 3b\), ta có: \(\frac{{\left| {3 - 3b - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8  \Leftrightarrow \left| { - 2b - 2} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 8b + 4 = 8\left( {9{b^2} - 18b + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 2b + 1 = 18{b^2} - 36b + 20\)

\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 34b + 19 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x - y + 4 = 0\).