Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip (E) x^2 /4 +y^2 /1=1

5/22

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) và điểm \(C\left( {2;0} \right)\). Tìm tọa độ các điểm \(A;B\)trên \(\left( E \right)\), biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và \(\Delta ABC\) là tam giác đều và điểm \(A\) có tung độ dương.

\[A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \] \[B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].

\[\;\;A\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \]\[B\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].

\[A\left( {2;4\sqrt 3 } \right)\] và \(B\left( {2; - 4\sqrt 3 } \right)\).

\[A\left( {\frac{{ - 2}}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \]\[B\left( {\frac{{ - 2}}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].

Giải thích

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) do \(A,B\)đối xứng nhau qua \(Ox\)nên \(B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\).

Ta có: \(A{B^2} = 4{y^2}_0\)và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2\).

Vì \(A \in \left( E \right)\)nên \(\frac{{{x_0}^2}}{4} + \frac{{{y_0}^2}}{1} = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{4}\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB = AC\)nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\) \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\end{array} \right.\)

Vì \(A \ne C\)và \(A\)có tung độ dương nên \[A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \] \[B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].