Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:3x - 4y - 1 = 0 và điểm I (1;- 2). Gọi (C) là đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tí

Hướng dẫn giải

Kẻ \(IH \bot d\). Khi đó

\(IH = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}.AB.IH = \frac{1}{2}.AB.2 = AB\).

Mặt khác tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\) nên \(AB = 4\).

\( \Rightarrow AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Xét tam giác \(IAH\) vuông tại \(H\), có:

\(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Do đó bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = 2\sqrt 2 \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).