Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho tam giác

93/235

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( {3;0} \right)\) và \(C\left( {2;6} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b} \right)\) là trực tâm của tam giác đã cho. Tính \(a - 6b\).

-3

-7

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Hai vecto vuông góc có tích vô hướng bằng 0

Lời giải

Gọi \(H\left( {a;b} \right)\) là trực tâm của tam giác đã cho.

Ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {a - 3;b} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right)\)

Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a - 3 + 6b = 0}\\{5a - 15 + 6b = 0}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + 6b = 3}\\{5a + 6b = 15}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = \frac{5}{6}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(a - 6b = - 3\).