Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 2mx + 2\left( {m + 1} \right)y + 5 = 0\) (\(m\) là số thực).

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2mx + 2\left( {m + 1} \right)y + 5 = 0\left( 1 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m <  - 2}\end{array}} \right.\left( * \right)\).

Khi đó đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2} - 5}  = \sqrt {2{m^2} + 2m - 4} \).

Ta có \(R \le 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2{m^2} + 2m - 4}  \le 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 2\).

Kết hợp điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m \in \left[ { - 3; - 2} \right) \cup \left( {1;2} \right]\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3;2} \right\}\). Vậy có \(2\) giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.