Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí . Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng d có phương trình x - y - 3 = 0. Gọi M(a;b) A(4;4) là vị trí

11/11

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí . Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - y - 3 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b} \right)\)\(A\left( {4;4} \right)\)là vị trí đặt máy thu sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất. Tính \(S = a + b\).

Giải thích

Lời giải

Để đặt vị trí sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất khi \(M\) gần vị trí \(A\) nhất.

Mà \(M \in d\) suy ra \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Vì \(\Delta \bot d\) nên \(\Delta :x + y + c = 0\).

Mà \(A\left( {4;4} \right) \in \Delta \) nên \(4 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 8\).

Suy ra \(\Delta :x + y - 8 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy máy thu đặt ở vị trí \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.

Khi đó \(S = a + b = \frac{{11}}{2} + \frac{5}{2} = 8\).

Trả lời: 8.