Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi S là miền nghiệm của bất phương trình

a) Thế \[x = 1,y = 2\] vào hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 \le 4\\2.1 - 2 \ge 1\end{array} \right.\]. Ta thấy không thỏa mãn.

b) Dựa vào hình vẽ \[\left( S \right)\] là một miền tam giác.

c) Gọi \[{d_1}:x + y = 4,{\rm{ }}{d_2}:2x - y = 1\]

 Khi đó \[M = {d_1} \cap Ox \Rightarrow M\left( {4;0} \right)\], \[N = {d_1} \cap {d_2} \Rightarrow N\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right)\], \[P = {d_2} \cap Ox \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2};0} \right)\]

Mặt khác \[\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}\]; \[\overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{7}{6}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow NP = \frac{{7\sqrt 5 }}{6}\]; \[\overrightarrow {MP} = \left( { - \frac{7}{2};0} \right) \Rightarrow MP = \frac{7}{2}\]

Do đó \[p = \frac{{MN + MP + NP}}{2} = \frac{{14\sqrt 2 + 7\sqrt 5 + 21}}{{12}}\].

\[S = \sqrt {p\left( {p - MN} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - NP} \right)} = \frac{{49}}{{12}}\]

d) Ta có \[P\left( {4;0} \right) = 4 + 2.0 = 4\]; \[P\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right) = \frac{5}{3} + 2.\frac{7}{3} = \frac{{19}}{3}\]; \[P\left( {\frac{1}{2};0} \right) = \frac{1}{2} + 2.0 = \frac{1}{2}\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = x + 2y\] trên miền \[\left( S \right)\] bằng \[\frac{{19}}{3}\]