Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(4; - 1). Gọi M là điểm trên trục Oy có tung độ lớn hơn 3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d bằng 1. Tính t

43/55

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {4; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên trục \(Oy\) có tung độ lớn hơn 3 sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) bằng 1. Tính tung độ của điểm \(M\).

Giải thích

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và có \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 13 = 0\).

Vì \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;b} \right)\).

Theo đề ta có \(d\left( {M,d} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3b - 13} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {3b - 13} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3b - 13 = 5\\3b - 13 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Vì \(b > 3\) nên \(b = 6\).

Trả lời: 6.