Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng d : x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng d n : y = (2n + 1)/ n x tại điểm P n ( n ∈ N ∗ )
81/91
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d:x + y = 2\) cắt trục hoành tại điểm \(A\) và cắt đường thẳng \({d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x\) tại điểm \({P_n}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\). Kí hiệu \({S_n}\) là diện tích của tam giác \(OA{P_n}\). Giá trị là ______ (làm tròn đến chữ số thứ 3 sau dấu phẩy)
Đáp án đúng là: 1,333
Giải chi tiết
\(A\left( {2;0} \right);{P_n}\left( {\frac{{2n}}{{3n + 1}};\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right);OA = 2;A{P_n} = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} \cdot \sqrt 2 ;\angle OA{P_n} = {45^ \circ }\).
\({S_n} = \frac{1}{2}OA \cdot A{P_n} \cdot {\rm{sin}}\angle OAP = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\)\({\rm{lim}}{S_n} = {\rm{lim}}\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = {\rm{lim}}\frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3} \approx 1,333\).
Đáp án cần điền là: 1,333