Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với A ( -1;-2)
18/20
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1; - 2} \right)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x + y + 4 = 0\). Biết đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\) có dạng \(ax + 2y + b = 0\). Tính \(a + 2b\).
Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
Ta có \(AH \bot BC\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\).
Suy ra \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó đường thẳng \(AH\) có phương trình là \( - \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0\).
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)\).
Đường trung bình D ứng với cạnh đáy \(BC\) có dạng \(x + y + c = 0\).
Lại có \(\Delta \) đi qua \(I\) nên \( - \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}\).
Vậy \(\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0\) hay \(\Delta :2x + 2y + 7 = 0\)
Suy ra \(a = 2;b = 7\). Do đó \(a + 2b = 16\).