Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−4;1), B(2;4), C(2;−2). Tọa độ trực tâm H(x;y) của tam giác ABC. Tính x + y.

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;y - 1} \right),\quad \overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right)\)

\(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 4} \right),\quad \overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 3} \right)\)

Vì \(H\) là trực tâm nên \(AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6\left( {y - 1} \right) = 0}\\{6x - 12 - 3y + 12 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{6x - 3 \cdot 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{y = 1}\end{array}} \right.\].

Tọa độ trực tâm là \(H\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Tính \(x + y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Đáp số: \(1,5\).