Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−4;1), B(2;4), C(2;−2). Tọa độ điểm I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính x + y.

Điểm \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Ta có:

\(I{A^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 8x - 2y + 17\)

\(I{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20\)

\(I{C^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 4x + 4y + 8\)

Từ \(I{B^2} = I{C^2}\):

\({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4x + 4y + 8 \Rightarrow 12y = 12 \Rightarrow y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình \(I{A^2} = I{B^2}\):

\({x^2} + 1 + 8x - 2 + 17 = {x^2} + 1 - 4x - 8 + 20 \Rightarrow 12x =  - 3 \Rightarrow x =  - \frac{1}{4}\).

Do đó \(I\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\) và \(x + y =  - \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75\).

Trả lời: \(0,75\).