Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đỉnh \(A\left( {6;\,\,6} \right)\)

Từ \(A\) kẻ đường cao \(AH\) \((H \in BC)\) cắt \(d\) tại \(I\).

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(H,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH.\)

Khi đó \(AH\) đi qua \(A\left( {6;\,\,6} \right)\) vuông góc với \(d\) nên có phương trình: \(x - y = 0\). Suy ra tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {2;\,\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(H\) và song song với \(d\) nên có phương trình \(x + y + 4 = 0\).

Gọi \(B\left( {t;\,\, - t - 4} \right) \in BC\) \( \Rightarrow C\left( { - 4 - t;\,\,t} \right)\) ( do \(H\) là trung điểm \(BC\))\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {t - 6;\,\, - 10 - t} \right)\\\overrightarrow {CE}  = \left( {t + 5;\,\, - 3 - t} \right)\end{array} \right.\)

Do \(E\left( {1;\,\, - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua \(C\) của tam giác \(ABC\), suy ra:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE}  = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 6} \right)\left( {t + 5} \right) + \left( { - 10 - t} \right)\left( { - 3 - t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;\,\, - 4} \right)\\C\left( { - 4;\,\,0} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 6;\,\,2} \right)\\C\left( {2;\,\, - 6} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {0;\,\, - 4} \right),\,\,C\left( { - 4;\,\,0} \right)\) hoặc \(B\left( { - 6;\,\,2} \right),\,\,C\left( {2;\,\, - 6} \right)\).

a) Sai: Trung điểm của cạnh \(BC\) có tọa độ là \(\left( { - 2;\, - 2} \right)\).

b) Đúng: Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x + y + 4 = 0\)

c) Đúng: Có hai điểm \(B\) thỏa mãn bài toán là \(B\left( {0;\,\, - 4} \right)\) hoặc \(B\left( { - 6;\,\,2} \right)\)

d) Sai: Có hai điểm \(C\) duy nhất thỏa mãn bài toán là \(C\left( { - 4;\,\,0} \right)\) hoặc \(\left( {2;\,\, - 6} \right)\).