Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có diện tích bằng 20. Đỉnh B và C nằm trên đường thẳng: x − y − 5 = 0 , điểm A ( 1 ; − 2 ) .

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right) \cdot BC \Rightarrow BC = \frac{{2 \cdot S}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \frac{{2.20}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \).

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC = \sqrt {{{\left( {d\left( {A,BC} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {2 + 200}  = \sqrt {202} \).

Phương trình đường tròn tâm \(A\) bán kính là \(AB\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 202\)

Tọa độ \({\rm{B}},{\rm{C}}\) là giao điểm của đường thẳng \(x - y - 5 = 0\) và đường tròn \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 202\]

Vì B nằm trên đường thẳng: \(x - y - 5 = 0 \Rightarrow a - b - 5 = 0 \Rightarrow a = b + 5\)

B nằm trên đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 202 \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 202\)

Thay \(a = b + 5\) vào phương trình \({\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 202\) ta được:

\({\left( {b + 5 - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 202 \Leftrightarrow 2{b^2} + 12b - 182 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7}\\{b =  - 13}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7 \Rightarrow a = 12}\\{b =  - 13 \Rightarrow a =  - 8 < 0}\end{array}} \right.\).

Vì \(a > 0\) nên \(B\left( {12;7} \right)\). Tổng \(a + b = 19\).

Đáp án cần nhập là: \(19\).