Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A biết đỉnh A ( 6 ; 6 ) . Đường thẳng d đi qua trung điểm các cạnh AB , AC có phương trình x + y − 4 = 0 .

19/22

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ biết đỉnh $A\left( {6;6} \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua trung điểm các cạnh $AB,\,AC$ có phương trình $x + y - 4 = 0$. Biết điềm $E\left( {1;\, - 3} \right)$ thuộc đường cao đi qua đỉnh $C$ của tam giác $ABC$. Giả sử $C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)$ và ${x_C} > 0$. Tính $x_C^2 + y_C^2$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác \(AB (ảnh 1)$

Ta có: $AH \bot d \Rightarrow $ phương trình đường thẳng $AH:x - y = 0$.

Gọi $H,\,D$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,AH$.

Toạ độ $D$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2$. Vậy $D\left( {2;\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2; - 2} \right)$.

Do $BC//d \Rightarrow BC$ có phương trình: $x + y + 4 = 0$.

$C \in BC \Rightarrow C\left( {t;\, - t - 4} \right)$ với $t > 0$. Do $H$ là trung điểm $BC$ nên suy ra $B\left( { - t - 4;\,t} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2$ (do $t > 0$).

Vậy $C\left( {2;\, - 6} \right)$ nên $x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {\left( { - 6} \right)^2} = 40$.