Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác A B C có ba đỉnh A ( 1 ; 2 ) , B ( − 1 ; − 1 ) , C ( 2 ; − 1 ) . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC .

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.{\rm{  }}\left( * \right)\) 

Giả sử \(H\left( {a;\,\,b} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 3} \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy, \(H\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\).