Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho parabol

a) Đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m\) đi qua điểm \(A\left( {2;8} \right)\)\( \Leftrightarrow 2 + m = 8 \Leftrightarrow m = 6\).

Vậy \(m = 6\) thì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;8} \right)\).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m\) là: \(2{x^2} = x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - x - m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\)có: \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.2.\left( { - m} \right) = 1 + 8m\).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\)thì phương trình \(\left( * \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 1 + 8m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{8}\).

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - m}}{2}\end{array} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} = 5\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} - 3.\frac{{ - m}}{2} = 5 \Leftrightarrow 1 + 3m = 10 \Leftrightarrow 3m = 9 \Leftrightarrow m = 3\)(thỏa mãn).

Vậy \(m = 3\) là giá trị cần tìm.