Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) y = x2 cắt đường thẳng (d): y = –2x – 3m có tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 6. Khi đó:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = –2x – 3m, suy ra x² + 2x + 3m = 0 (1).

Vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² + 2x + 3m = 0.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 1² – 1.1.3m= 1 – 3m.

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂. Suy ra \(\Delta\)’ = 1 – 3m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{3}\;\,\left( * \right).\)

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ khi \({\rm{m}} < \frac{1}{3}.\)

c) Sai.

Phương trình (1) có x₁ + x₂ = –2, x₁x₂ = 3m (định lý Viète).

Vì x₁ + x₂ = –2 nên x₁ = –2 – x₂.

Thay x₁ = –2 – x₂ vào 2x₁ + 3x₂ = 6 ta có:

2(–2 – x₂) + 3x₂ = 6

x₂ – 4 = 6

x₂ = 10.

Vậy x₂ = 10.

d) Sai.

Với x₂ = 10 thì x₁ = –2 – 10 = –12.

Do đó: 3m = x₁x₂ = (–12).10, suy ra m = –40 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.