Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) y = 2x^2 cắt đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0; 3) và B(1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a)Đúng.            b) Sai.                    c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng.

Đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b.

Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; 3) nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.

Vì (d): y = ax + 3 đi qua điểm B(1; 2) nên 2 = a.1 + 3, suy ra a = –1.

Vậy (d): y = –x + 3.

b) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x² = –x + 3, suy ra 2x² + x – 3 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2x² + x – 3 = 0.

c) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Vì \(\Delta\) = 1² – 4.2.(–3) = 25 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

d) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Thay x = 1 vào y = 2x² ta có y = 2.1² = 2 < 5.

Thay \({\rm{x}} = \frac{{ - 3}}{2}\) vào y = x² ta có \({\rm{y}} = 2 \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} = \frac{9}{2} < 5.\)

Vậy tung độ giao điểm của (d) và (P) là số nhỏ hơn 5.