Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình

1.\((d) \bot \left( \Delta  \right) \Leftrightarrow 2.\left( {a - 3} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\).

2.Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\)và \((P)\,\)

\({x^2} = 2x + {m^2} - 4m + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 4m - 9 = 0\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta ' = {m^2} - 4m + 10 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 6 > 0\,\forall m\)

Vậy đường thẳng \((d)\)luôn cắt \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\)

\(a.c =  - {m^2} + 4m - 9 =  - {\left( {m - 2} \right)^2} - 5 < 0\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu \({x_1} < 0 < {x_2}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 2023 < 0\\{x_2} + 2023 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| =  - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\[\begin{array}{l}\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48 \Leftrightarrow  - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = x_1^2 + x_2^2 - 48\\ \Leftrightarrow  - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 48 \Leftrightarrow  - 2 = {2^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m - 9} \right) - 48\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m =  - 2\end{array} \right..\end{array}\]