Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\)có phương trình

3/6

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\)có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \[y = 2mx - {m^2} - m - 2\] (với \(m\) là tham số).

1. Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) biết điểm \(M\) có hoành độ bằng \( - 3.\)

2. Tìm điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right),\) xác định \(m\) để \[{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} = 2{m^3} + 6.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) \(x = - 3 \Rightarrow y = 9\)Vậy \(M\left( { - 3;9} \right).\)

2)Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\)và \(\left( P \right)\) là

\({x^2} = 2mx - {m^2} - m - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 2} \right) = - m - 2\)\(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left( * \right)\)Ta có \({x_1} + {x_2} = 2m,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} + m + 2\)\[{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} = {x_1}.x_2^2 + {x_2}.x_1^2 = {x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]\( = 2m\left( {{m^2} + m + 2} \right)\)

\( = 2{m^3} + 2{m^2} + 4m\)\[2{m^3} + 2{m^2} + 4m = 2{m^3} + 6 \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\]

Đối chiếu \(\left( * \right)\) vậy \(m = - 3\).