Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol

4/6

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)và đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + m\). Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)thoả mãn hệ thức \({x_1} + {y_1} = {x_2} + {y_2} + 4\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

\({x^2} = 3x + m\)

Hay \({x^2} - 3x - m = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4m = 9 - 4m\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{9}{4}\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)

Nên \(\begin{array}{l}{y_1} = 3{x_1} + m\\{y_2} = 3{x_2} + m\end{array}\)

Với \(m \le \frac{9}{4}\)áp dụng định lí Vi-et cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}.{x_2} = - m\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} + {y_1} = {x_2} + {y_2} + 4\\ \Leftrightarrow {x_1} + 3{x_1} = {x_2} + 3{x_2} + 4\\ \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} = 1\end{array}\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1} - {x_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Do đó: \({x_1}{x_2} = - m \Rightarrow m = - 2\)

So với điều kiện ta được m = -2

Vậy m = -2 thì đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)thoả mãn hệ thức \({x_1} + {y_1} = {x_2} + {y_2} + 4\)