Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC

a) Ta có \(\overrightarrow {MA} \left( {{x_A} - 11;{y_A} - 12} \right) = \overrightarrow {HM} \left( { - 6;8} \right) \Rightarrow A\left( {5;20} \right)\).

 \(MN = \sqrt {50} ,NH = \sqrt {50} ,MH = 10\).

 Sử dụng công thức Herong hoặc diện tích tam giác vuông tính được \(S = 25.\)

b)Ta có:

\(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} } \right)\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CN} } \right)\)

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {BM} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0.\]

 Gọi \(B\left( {a;b} \right).\) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {MH} = 0\\\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {a - 17} \right) - 8\left( {b - 4} \right) = 0\\ - \left( {a - 11} \right) - 7\left( {b - 12} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\\b = 10\end{array} \right.\).

Vậy \(B\left( {25;10} \right)\).