Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị (C) và một đường tròn (T) có phương trình x^2 + y^2 = 5. Biết rằng đồ thị (C) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứ

Xét mệnh đề a)

Đồ thị nhận \(O\left( {0;0} \right)\) làm tâm đối xứng nên hàm số phải là hàm số lẻ. Do đó, các hệ số của bậc chẵn phải bằng 0: \(b = d = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^3} + cx\)

Điểm \(M\left( {1; - 2} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 2 \Leftrightarrow a + c =  - 2\left( 1 \right)\)

Điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\)là điểm cực trị nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3a + c = 0\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - 2}\\{3a + c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{c =  - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x\)

Vậy \(a + b + c + d = 1 + 0 + \left( { - 3} \right) + 0 =  - 2\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3x = 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy đồ thị \(\left( C \right)\)cắt đường thẳng \(y = 2\)tại hai điểm phân biệt (trong đó có 1 điểm tiếp xúc) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\)và trục hoành: \({x^3} - 3x = 0 \Rightarrow x = 0\,;\,x =  \pm \sqrt 3 \)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và đường thẳng \(x = \sqrt 3 \):

\(S = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left| {{x^3} - 3x} \right|\,{\rm{d}}x = \frac{9}{4}}  = 2,25\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Phần hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\)và trục hoành \(\left( {x \ge 0} \right)\) là đoạn từ \(x = 0\)đến \(x = \sqrt 3 \).

\(V = \pi \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^3} - 3x} \right)}^2}\,{\rm{d}}x}  = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^7}}}{7} - \frac{{6{x^5}}}{5} + 3{x^3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = \frac{{72\sqrt 3 \pi }}{{35}}\) nên mệnh đề d) đúng