Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải

Dễ thấy \(O \in {d_1},O \in {d_2}\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại \(O\) và

\({\rm{cos}}\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\sqrt 3 }^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\sqrt 3 }^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AOB} = {60^ \circ }\)

Vì tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\) nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC} = {60^ \circ }\).

Ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\left( {OA.\sin \widehat {AOB}} \right).\left( {OA.\tan \widehat {AOB}} \right).{\rm{sin}}\widehat {BAC}\)\( = \frac{1}{2}\left( {OA.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {OA.\sqrt 3 } \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}O{A^2}\)

Mà \({S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\frac{{3\sqrt 3 }}{8}O{A^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow O{A^2} = \frac{4}{3}\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\left( {{x_A} > 0} \right)\). Vì \(A\) thuộc \({d_1}:\sqrt 3 {x_A} + {y_A} = 0\) nên \(\sqrt 3 {x_A} + {y_A} = 0\) và \(O{A^2} = \frac{4}{3}\) nên \(x_A^2 + y_A^2 = \frac{4}{3}\).

Tìm được \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) qua \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; - 1} \right)\) và vuông góc với \({d_1}:\sqrt 3 x + y = 0\) nên đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(\sqrt 3 x - 3y - 4 = 0\).

\(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\sqrt 3 x - 3y - 4 = 0\) và \({d_2}:\sqrt 3 x - y = 0\) nên\(C\left( {\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}; - 2} \right)\).

Gọi I và trung điểm \(AC\), ta có \(I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)\). Vì I là trung điểm \(AC\) nên I cũng là tâm của đường tròn (\(T\)).

Vậy tọa độ tâm I của \(\left( T \right)\) là \(I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)\).