Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Delta 1:x - y + 6 = 0; Delta 2:x = 1 + 2t; y = 3 + t.

Lời giải

a) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\) nên \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - \frac{5}{2} = 0\).

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\\t =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).

c) \(d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}\).

d) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.