Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Xét tính đúng sai tr

Đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

a) Sai: Ta có \(d\left( {I,\,d} \right) = \left| {\frac{{4.1 - 3.2 + 2}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}} \right| = 0\)

Vậy đường thẳng \(d\) không tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đúng: Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) bằng đường kính nên bằng\(10\).

c) Đúng: Gọi \(m\) là đường thẳng vuông góc với \(d:\,4x - 3y + 2 = 0\). Khi đó \(m\) có dạng \(3x + 4y + C = 0\).

Đường thẳng \(m\)tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi

\(d\left( {I,m} \right) = R \Leftrightarrow \left| {\frac{{3.1 + 4.2 + C}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {11 + C} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + C = 25\\11 + C =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 14\\C =  - 36\end{array} \right.\)

Suy ra có hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) là

\({m_1}:\,3x + 4y + 14 = 0\) và \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).

d) Đúng: Điểm \(A\left( {0\,;\,9} \right)\) thuộc tiếp tuyến \({m_2}:\,3x + 4y - 36 = 0\).