Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0 và đường thẳng d:x + 2y - 1 = 0.

Lời giải

a) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = \sqrt 5 \).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;b} \right)\)vào phương trình đường tròn ta được

\({2^2} + {b^2} - 2 \cdot 2 + 4b = 0\)\( \Leftrightarrow b = 0\) hoặc \(b =  - 4\).

Vì \(b < 0\) nên \(M\left( {2; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 10 = 0\;\left( {d'} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {IM} \) không cùng phương nên hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

c) Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} < R\).

Nên \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Thay tọa độ điểm \(O\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) thỏa mãn nên điểm \(O\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.