Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) tâm O , bán kính bằng 1 . Gọi T là tập hợp tất cả các điểm M ( x ; y ) , trong đó x , y ∈ Z , sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến

20/22

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$, bán kính bằng $1$. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( {x;y} \right)$, trong đó $x,y \in \mathbb{Z}$, sao cho từ $M$ kẻ được $2$ tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến $\left( C \right)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat {AMB} \ge 60^\circ $. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm trong $T$. Biết xác suất để đường thẳng đi qua $2$ điểm được chọn song song với trục $Ox$ bằng $\frac{1}{a}$. Tính ${a^2}$.

Giải thích

Đáp án: 196.

$Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tr (ảnh 1)$

Để từ $M$ kẻ được $2$ tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến $\left( C \right)$, suy ra $OM > 1$.

Dễ thấy $\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} \Rightarrow \widehat {AMB} \ge 60^\circ \Leftrightarrow \widehat {AMO} \ge 30^\circ $.

Trong $\Delta AMO$ vuông tại $A$:

$30^\circ \le \widehat {AMO} < 90^\circ \Rightarrow \sin 30^\circ \le \sin AMO < \sin 90^\circ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le \frac{{OA}}{{OM}} < 1 \Rightarrow 1 < OM \le 2$.

Do đó: $1 < \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 2 \Rightarrow 1 < {x^2} + {y^2} \le 4$. Do $x,y \in \mathbb{Z}$ nên có hai trường hợp:

· ${x^2} + {y^2} = 2$: Có $4$ điểm $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right)} \right\}$.

· ${x^2} + {y^2} = 4$: Có $4$ điểm $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( { - 2;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 2} \right)} \right\}$.

Vậy có $8$ điểm $M$ thỏa mãn hay số phần tử của $T$ là $8$.

Số cách chọn ngẫu nhiên $2$ điểm trong $T$: $C_8^2 = 28$.

Để đường thẳng đi qua $2$ điểm được chọn song song với trục $Ox$ có $2$ trường hợp thỏa mãn: $\left( {1;1} \right)$ và $\left( { - 1;1} \right)$; $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; - 1} \right)$.

Vậy xác suất cần tìm: $P = \frac{2}{{28}} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow a = 14 \Rightarrow {a^2} = 196$.