Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 1)\) bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + 1 - 6}  = 2\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có dạng:

\(a(x - 1) + b(y - 3) = 0{\rm{ }}\) với \({\rm{( }}{a^2} + {b^2} \ne 0{\rm{ ) hay }}ax + by - a - 3b = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn

\( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{|3a - b - a - 3b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a - 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{3b = 4a}\end{array}} \right.\)

+ Nếu \(b = 0\), chọn \(a = 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(x = 1\).

+ Nếu \(3b = 4a\), chọn \(a = 3,b = 4\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(3x + 4y - 15 = 0\).