Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Delta :3x - 4y + 10 = 0.

Lời giải

a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \(\Delta \) không đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\).

Có \({\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = 49 \Rightarrow \tan \alpha  = 7\).

d) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.