Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m – 2)x + 3 với m 2. (a) Trong trường hợp m = 3 hãy vẽ đường thẳng (d) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

a) Khi m = 3 ta đươc (d): y = (3 – 2)x + 3 = x + 3.

- Cho x = 0 suy ra y = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; 3)

- Cho y = 0 suy ra x = – 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua B(– 3; 0).

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác ABC có:

Tính ra \[OA = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - 3} \right| = 3\]; \[OB = \left| {{x_B}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Kẻ OH ⊥ (d) tại H và khẳng định OH là khoảng cách từ (O) đến (d).

Khi đó: \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\]

Suy ra \[O{H^2} = \frac{9}{2} \Rightarrow OH = \sqrt {O{H^2}} = \sqrt {\frac{9}{2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy khoảng cách từ (O) đến (d) là \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

b) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy.

Thì \[M\left( {\frac{{ - 3}}{{m - 2}};0} \right)\] và N(0; 3).

Tính ra \[OM = \left| {{x_M}} \right| = \left| {\frac{{ - 3}}{{m - 2}}} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\]; \[ON = \left| {{y_N}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác OMN vuông cân nên OM = ON.

Suy ra \[\frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{{m - 2}} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{m - 2}}\\\frac{3}{{2 - m}} = \frac{{3\left( {2 - m} \right)}}{{2 - m}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 = 3m - 6\\3 = 6 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 9\\3m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\]

Vậy m = 3; m = 1 để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác vuông cân.