Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x + m – 1 và parabol (P): y = x2. Biết rằng x1, x2 (x1 ≠ x2) là các hoành độ giao điểm của (P) và (d) sao cho

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = 2x + m – 1, suy ra x² – 2x – m + 1 = 0 (1).

Vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 2x – m + 1 = 0.

b) Đúng.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–1)² – 1.(–m + 1) = 1 + m – 1 = m.

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt.

Suy ra \(\Delta\)’ = m > 0 (*).

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 0.

c) Đúng.

Phương trình (1) có: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1 (định lý Viète).

Vậy x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1.

d) Sai.

Vì \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = 6\) nên (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 6 (2).

Thay x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1 vào (2) ta có:

2² – 2(–m + 1) = 6

2m + 2 = 6

m = 4 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.