Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y = 2mx - m^2 + 1 và parabol (P):y = x^2.

2a)

Chứng minh \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\,\, = 0\] \[\left( 1 \right)\]

Xét \(\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} - {m^2} + 1 = 1 > 0, \forall m\)

Do đó phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\)

Vậy \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

2b)

Tìm tất cả giá trị của m để \[(d)\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\] (Điều kiện: \[{x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\].

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2 + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\[ \Rightarrow {x_1} + {x_2} =  - 2 + {x_1}{x_2}\]

\[ \Leftrightarrow 2m =  - 2 + {m^2} - 1\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Kết Luận: \(m = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.