Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0 và điểm A ( 2 ; 0 ) . Gọi A ′ ( a ; b ) là điểm đối xứng của A qua d . Tính S = 5a + 10b ?
Giải thích
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\vec n\left( {1;2} \right)\).
Đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d là: \(2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\).
Giao điểm H của d và \({\rm{d'}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11}}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.} \right.\).
Do H là trung điểm của \({\rm{AA'}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2 \cdot \frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}}\\{{y_{A'}} = 2 \cdot \frac{2}{5} - 0 = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\).
\(S = 5 \cdot \frac{{12}}{5} + 10 \cdot \frac{4}{5} = 12 + 8 = 20\). Chọn B.