Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:x - 2y - 2 = 0 và ba điểm A(3;4), B (- 1;2), C (0;1). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm M (a;b) thuộc đường thẳng d để biểu thức |vecto MA - 2 vect

Lời giải

Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC}  = \left( { - m;1 - n} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {MI}  - 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).

\(P = a + 2b = 4\).

Trả lời: 4.