Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \((d)\) có phương trình: \(x - 2y + 5 = 0\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\vec n = (A,B)\) là VTPT của \(\Delta \left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\)

Để \(\Delta \) tạo với \((d)\) một góc 45o thì

cos45°=|A−2B|A2+B2⋅5=12⇔2(A−2B)2=5A2+B2⇔A=−3BB=3A

+ Với \(A =  - 3B\), chọn \(B =  - 1 \Rightarrow A = 3\):

Khi đó \(\Delta \) qua \(M(2;1)\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3; - 1)\)

\( \Rightarrow \Delta :3(x - 2) - 1(y - 1) = 0 \Leftrightarrow \Delta :3x - y - 5 = 0.{\rm{ }}\)

+ Với \(B = 3A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = 3\):

Khi đó \(\Delta \) qua \(M(2;1)\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;3)\)

\( \Rightarrow \Delta :1(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \Leftrightarrow \Delta :x + 3y - 5 = 0.{\rm{ }}\)