Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường thẳng ( d ):3x + m^2 - 1 và parabol ( P ):y = x^2.

a.Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 3x + {m^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - {m^2} + 1 = 0\) \(\left( * \right)\)

Ta có \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - {m^2} + 1} \right) = 9 + 4{m^2} - 4 = 4{m^2} + 5 > 0,\forall m\)

Þ Phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

b.Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1.\)

Do \({x_1},{x_2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3 + \left( { - {m^2} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ {2; - 2} \right\}\).