Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2mx - m^2 + 1 và parabol (P): y = x^2

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm x2−2mx+m2−1  1

Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với ∀m

Ta có : a=1≠0Δ'=b'2−ac>0    ∀m

Xét Δ'=m2−m2−1=m2−m2+1=1>0,∀m

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−2x1x2+12

Ta có x1x2≠0⇒m2−1≠0⇒m≠±1

Hai nghiệm của phương trình : x1=m−1;x2=m+1

Biến đổi biểu thức (2) ta có : 1x1+1x2=−2x1x2+1⇒x1+x2x1x2=−2+x1x2x1x2⇒x1+x2=−2+x1x2

Thay x1=m−1;x2=m+1 vào biểu thức x1+x2=−2+x1x2 ta có :

m-1+m+1=-2+m-1m+1⇒m2-1-2=2m⇔m2−2m−3=0⇔m−3m+1=0⇔m−3=0m+1=0⇔m=3m=−1L

Kết Luận : Với m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.