Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Delta ABC biết A ( - 3;4), B ( - 3;1), C (1;2)

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 3} \right)\).

b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 3;y - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {x + 3;y - 1} \right)\).

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) nên \(AH \bot BC\) và \(B,H,C\) thẳng hàng.

Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0\\x + 3 = 4k\\y - 1 = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{39}}{{17}}\\y = \frac{{20}}{{17}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( { - \frac{{39}}{{17}};\frac{{20}}{{17}}} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 2} \right)\)

\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{0 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{6\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

d) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - 3 - x;4 - y} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \left( { - 7 - x; - y} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 7 - x = 0\\ - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( { - 7;0} \right)\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;     c) Sai;     d) Đúng.