Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 3 = 0\),

22/22

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 3 = 0\), \({d_2}:3x - y + 5 = 0\) và điểm \(P( - 2;1)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(P\) và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(P\) là trung điểm của \(AB\).

a) Tìm toạ độ các điểm \(A,B\).

b) Tính khoảng cách từ \(M(3; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta \).

Giải thích

a) Vì \(A \in {d_1},B \in {d_2}\) nên giả sử \(A( - 2t - 3;t),B(s;3s + 5)\).

Ta có: \(P( - 2;1)\) là trung điểm \(AB\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{ - 2t - 3 + s}}{2} = - 2}\\{\frac{{t + 3s + 5}}{2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2t + s = - 1}\\{t + 3s = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{s = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(A( - 3;0),B( - 1;2)\).

b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A,B\)là: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0.\)Vậy khoảng cách từ \(M\)đến đường thẳng \(\Delta \)là: \(d(M,d) = \frac{{|3 - ( - 2) + 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 {\rm{. }}\)